程序员数学之 IEEE754 规范（整理版）

通用版：https://www.yuque.com/u2333-ohan5/gbpqhm/readme?singleDoc#

来源：博客园 sureZ_ok《程序员数学之-IEEE754规范》。本文是学习整理版，保留核心知识点，并将图片放入 images/ 目录，Markdown 中使用相对路径引用。

1. 定点数与浮点数

计算机表示小数主要有两类方法：定点数和浮点数。

定点数（Fixed Point Number）：小数点位置固定。例如常见的 Qm.n 表示法，一般可以理解为：

1
1 个符号位 + m 个整数位 + n 个小数位

优点是计算速度快；缺点是表示范围较小，不适合同时表示特别大和特别小的数。

浮点数（Floating Point Number）：使用类似科学计数法的形式表示小数。优点是表示范围广、精度较高；缺点是计算过程比定点数复杂。

2. IEEE754 规范

IEEE754 规定了常见浮点数的存储格式，例如 float16、float32、float64。它们都可以拆成三部分：

1
2
3
S：符号位 Sign
E：阶码 / 指数 Exponent
M：尾数 / 小数部分 Mantissa / Fraction

2.1 浮点数存储格式

float16：半精度浮点数

float16 layout

float16 一共 16 bit：

1
1 bit 符号位 + 5 bit 阶码 + 10 bit 尾数

float32：单精度浮点数

float32 layout

float32 一共 32 bit：

1
1 bit 符号位 + 8 bit 阶码 + 23 bit 尾数

float64：双精度浮点数

float64 layout

float64 一共 64 bit：

1
1 bit 符号位 + 11 bit 阶码 + 52 bit 尾数

3. 规格数、非规格数与特殊数

IEEE754 主要根据阶码 E 的状态，把浮点数分成三类：

类型 E 的状态 M 的状态 含义
规格数 Normal Number E 不是全 0，也不是全 1 任意 正常表示绝大多数浮点数
非规格数 Subnormal Number E 全 0 通常非 0，也可表示 0 表示 0 附近很小的数
特殊数 Special Number E 全 1 M=0 或 M≠0 表示 Infinity 或 NaN

3.1 规格数 Normal Number

normal number

规格数的特点是：阶码 E 不为 0，也不为全 1。

它的计算公式是：

normal formula

其中 bias 是偏置值：

类型 阶码位数 bias
float16 5 15
float32 8 127
float64 11 1023

比如对于 float32 的 -3.456：

1
2
3
4
5
符号位：负数，所以 S = 1
3.456 ≈ (1 + 0.728) × 2^1
所以 M ≈ 0.728
真实指数 = 1
存储阶码 E = 1 + 127 = 128

注意：规格数不能表示 0，也不能很好地表示非常靠近 0 的数。

3.2 非规格数 Subnormal Number

subnormal number

非规格数的特点是：阶码 E 全 0。它主要用于表示 0 以及非常接近 0 的小数。

它的计算公式是：

subnormal formula

这里要特别注意：非规格数的指数是 1 - bias，而不是 0 - bias。

规格数和非规格数在数轴上的关系大致如下：

number axis

可以这样理解：

1
2
3
规格数：负责表示“正常范围”的数
非规格数：负责填补 0 附近特别小的数
特殊数：负责表示无穷大和非法结果

3.3 特殊数 Special Number

特殊数的特点是：阶码 E 全 1。

Infinity：无穷大

infinity

当：

1
E 全 1，M = 0

表示正无穷或负无穷。符号位 S 决定是 +Infinity 还是 -Infinity。

NaN：非数值

nan

当：

1
E 全 1，M ≠ 0

表示 NaN，也就是 Not A Number。常见于非法数学运算，比如某些情况下的 0/0。

4. 浮点数表示范围与精度

类型 近似表示范围 精度理解
float16 约 (-65536, 65536) 约 3～4 位有效数字
float32 约 (-3.4e38, 3.4e38) 约 6～7 位有效数字
float64 约 (-1.79e308, 1.79e308) 约 15～16 位有效数字

这里的“精度”可以先粗略理解为：

1
尾数位越多，小数部分能分得越细，有效数字越多。

例如：

1
2
3
float16 的尾数是 10 位，所以有效数字较少。
float32 的尾数是 23 位，所以有效数字更多。
float64 的尾数是 52 位，所以有效数字最多。

5. 浮点数之间相互转换

以 float16 转 float32 为例，本质不是简单“数值复制”，而是要按照 IEEE754 格式重新扩展：

1
2
3
float16_t val = 1.5;
printf("val = %f
", (float32_t)val);

在转换过程中，需要处理：

1
2
3
符号位 S：从 float16 放到 float32 对应位置
阶码 E：从 5 位扩展为 8 位，并重新计算 bias
尾数 M：从 10 位扩展为 23 位，通常向高位对齐并补 0

示意代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
float32_t f16Tof32(float16_t halfFloat) {
    union {
        uint32_t Uint32;
        float32_t F32;
    } val;

    val.Uint32 = *((uint32_t *)(&halfFloat));

    // S + E + M
    val.Uint32 = ((val.Uint32 & 0x8000) << 16) |
                 (((((val.Uint32 >> 10) & 0x1f) - 15 + 127) & 0xff) << 23) |
                 ((val.Uint32 & 0x03FF) << 13);

    return val.F32;
}

这段代码的核心逻辑是：

1
2
3
float16 的 bias 是 15
float32 的 bias 是 127
所以指数部分要从 “E16 - 15” 转成 “真实指数”，再加上 127 存入 float32

6. 快速计算 2 的指数次幂

IEEE754 的结构可以用来快速构造 2^x。

对于 float32：

power2

因为：

1
2^x = 1.0 × 2^x

所以可以设置：

1
2
3
S = 0
M = 0
E = x + 127

示意代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
uint32_t power2(uint32_t x) {
    union {
        uint32_t Uint32;
        float_t F32;
    } val;

    val.Uint32 = (127 + x) << 23;
    return (uint32_t)val.F32;
}

同理，也可以通过读取浮点数中的阶码来快速近似计算 log2：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
uint32_t log2(float_t y) {
    union {
        uint32_t Uint32;
        float_t F32;
    } val;

    val.F32 = y;
    return ((val.Uint32) >> 23) - 127;
}

7. 考试速记版

7.1 三段结构

1
2
3
4
浮点数 = S + E + M
S：正负
E：数量级 / 指数
M：精细程度 / 有效数字

7.2 三种状态

1
2
3
E 不是全 0，也不是全 1：规格数
E 全 0：非规格数 / 0 附近
E 全 1：特殊数

7.3 特殊数判断

1
2
E 全 1，M = 0：Infinity
E 全 1，M ≠ 0：NaN

7.4 bias 记忆

1
2
3
float16：bias = 15
float32：bias = 127
float64：bias = 1023

7.5 规格数公式

1
V = (-1)^S × (1.M) × 2^(E - bias)

7.6 非规格数公式

1
V = (-1)^S × (0.M) × 2^(1 - bias)

8. 一句话理解

IEEE754 就是在用三块信息表示一个小数：

1
S 决定正负，E 决定大小级别，M 决定这个数在该级别里的精细位置。